Наука и инновации
Nauka i innovacii
Войти
В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием
a и углом при основании
. Кроме того, построена вторая
окружность, касающаяся первой окружности и основания
треугольника, причём точка касания является серединой основания.
Найдите радиус второй окружности. Если решение не единственное,
рассмотрите все случаи.
В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины P, Q сторон AB, CD и середины S, T сторон BC, DE соединены отрезками PQ и ST. Пусть M и N – середины отрезков PQ
и ST. Найдите длину отрезка MN.
Две окружности с центрами M и N, лежащими на стороне AB
треугольника ABC, касаются друг друга и пересекают стороны AC и
BC в точках A, P и B, Q соответственно. Причем AM = PM = 2, BN = = QN = 5. Найдите радиус описанной около треугольника ABC
окружности, если известно, что отношение площади треугольника AQN
к площади треугольника MPB равно
15
В треугольник ABC со сторонами AB = 5, BC = 7, CA = 10 вписана окружность. Прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и K, касается этой окружности. Найдите периметр треугольника MBK.
Один из четырёх углов, образующихся при пересечении двух прямых, равен 41°. Чему равны три остальных угла?
Равнобедренная трапеция описана около окружности. Докажите, что биссектриса тупого угла этой трапеции делит её площадь пополам.
В треугольнике ABC угол C прямой. На катете CB как на диаметре во внешнюю сторону построена полуокружность, точка N – середина этой полуокружности. Докажите, что прямая AN делит пополам биссектрису CL.
Дан описанный четырёхугольник. Точки касания его вписанной окружности со сторонами последовательно соединены отрезками. В получившиеся треугольники вписаны окружности. Докажите, что диагонали четырёхугольника с вершинами в центрах этих окружностей взаимно перпендикулярны.
Между двумя параллельными прямыми расположили окружность радиуса 1, касающуюся обеих прямых, и равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной из прямых, а вершина – на другой. Известно, что треугольник и окружность имеют ровно одну общую точку и что эта точка лежит на вписанной окружности треугольника. Найдите радиус вписанной окружности треугольника.
В остроугольный треугольник вписана окружность радиуса R. К окружности проведены три касательные, разбивающие треугольник на три прямоугольных треугольника и шестиугольник. Периметр шестиугольника равен Q. Найдите сумму диаметров окружностей, вписанных в прямоугольные треугольники.
Файлы .ggb открываются программой ГеоГебра
Чтобы GeoGebra заработала, нужна ещё Java.
Подготовка
Как-нибудь попозже соберусь.
3.1. Задачки на клетчатой бумаге (номер 3).
Полезная книжка А.В.Хачатуряна.
Интересная (но для ЕГЭ ненужная) статья в “Кванте (1974, №12)” о формуле Пика.
Картинко к задачке про площадь на клетчатой бумаге (Вар.08 №3)
6.1. Площадь (номер 6).
• 14 задачек про площадь треугольника и таблица для записи ответов
• 11 задачек про площадь параллелограмма + 3 про площадь вписанного многоугольника
и таблица для записи ответов
• 12 задачек про площадь трапеции и таблица для записи ответов
Здесь никем не проверенные ответы
Здесь эти 40 задач вместе
Здесь LaTeX-исходники
6.3. Биссектриса (номер 6).
Здесь 12 задачек и таблица для записи ответов
8. Стереометрия из тестовой части (номер 8).
Картинко с попорченным кирпичом
17. “Экономическая” (номер 17).
Занятие для первого знакомства (10? класс)
Последнюю страничку из этого файла удобно напечатать на бумаге-самоклейке столько раз, сколько школьников будет на занятии:
хорошо, если у каждого из них есть возможность в нужный момент вклеить в тетрадку нужное условие.
Самостоятельная работа (35 – 40 мин) по мотивам этого занятия для 10А
и для 10Б — разница только в именах
(задачки из игр Ольги Игоревны Себедаш — сезон 2015/2016)
Ещё одна самостоятельная работа по разным мотивам
Ответы к этим самостоятельным работам
Здесь LaTeX’овские исходники
Недоварианты-10.
Ответы к вариантам 1 – 8
Здесь LaTeX’овские и MetaPost’овские исходники
III. Недоварианты-11.
Ответы к вариантам 1 – 8
И их тоже. Однако они никем не проверены, пользуйтесь осторожно. Я буду Вам благодарна за сообщения об ошибках.
Ответы к вариантам 9 – ?
И их тоже. Однако они никем не проверены, пользуйтесь осторожно. Я буду Вам благодарна за сообщения об ошибках.
Здесь картинки к некоторым задачкам из книги Гордина ЕГЭ 2017. Стереометрия. Задача 14
ISBN: 978-5-4439-1084-0
Для такой книжки ЕГЭ 2017. Стереометрия. Задача 14
тираж 5000 экземпляров — это сильно.
В июне 2017 года Зоя Фёдоровна Балакирева из Когалыма попросила это нарисовать.
К §9. Фигуры вращения.
Банк задач тестовой части — и этим всё сказано.
Ларин — хорош еженедельными вариантами с сентября по май.
Гущин — хорош обилием решённых задач.
Яковлев — умный мужик. И это хорошо.
Ну как обойтись без них:
problems.ru — отсюда берутся всевозможные задачи.
ИПС Гордина — отсюда берутся задачи по геометрии.
МЦНМО — отсюда берутся книжки.
На всех планиметрических картинках масштаб меняется колёсиком мышки.
Цветные или просто крупные точки можно двигать.
На кнопки надобно нажимать, движки двигать, в окошки ставить галочки.
Ларин, вар.89 (2014/2015).
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Точка X лежит на его стороне AD, причём BX∥CD; CX∥BA; AX=3/2; DX=6.
а) Докажите, что ΔABX∼ΔBXC. б) Найдите BC.
Вот задачка с жёсткой конструкцией.
В ΔABC (∠C=90°, AC=8, BC=6) на катете BC выбрана точка P — центр окружности радиуса 0,5,
касающейся прямой AC. Окружность с центром в точке O касается катета AC в точке D, гипотенузы AB и внешне касается первой окружности.
а) Докажите, что AD=3⋅OD. б) Найдите радиус второй окружности.
Числовые вариации к задаче 6930 из ИПС Гордина: раз Питерский пробник ГИА 2016 (задача 26)
В трапеции ABCD основания AD=32, BC=4. Сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности,
проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=14.
Что делать?
К уроку (2×45′) о золотом сечении
Ещё о нём же: от Simona Riva,
от Irina Boyadzhiev (+полоска бумаги),
от Martin Vinkler (нажимайте на стрелочки внизу);
целая коллекция, собранная Roman Chijner. Там ещё много интересного, поищите.
Задачи о равновеликих фигурах
из брошюры Б.П.Гейдмана (стр.6)
Задачи о равновеликих фигурах из ГИА-9 (номера 24) из ISBN-978-5-4439-0531-0
1. В трапеции ABCD (AB∥CD) площадь SACD=упс. На диагонали AC выбрана точка P так, что DP∥BC.
Какова SBCP?
Почти задача 4655 из ИПС Гордина:
2. Точка Q — середина боковой стороны DA трапеции ABCD. Площадь SBCQ=упс. Найдите площадь трапеции.
На месте упс в файлах будут появляться разные числа, в зависимости от того, куда Вы сдвинете точки C и D;
разумеется, от этого ничего не зависит: задачки о равновеликих фигурах.
Коллекция доказательств теоремы Пифагора (не к ночи будь она помянута),
собранная Steve’ом Phelps’ом. Вот математик!
ПоШалим?
К лемме о трёх симметриях
Мне не удавалось встроить куда-нибудь разговор о гомотетии — а жаль: сколько задачек изящно решаются с её помощью!
• Примеры задач на построение.
Здесь Гордин
Кто виноват?
Это ни зачем не надо. Просто мне захотелось сделать средствами ГеоГебры то,
что на Этюдах сделано другими средствами.
астроиду циклоида, эпициклоида и гипоциклоида поискатьбрахистохронатаутохронаC. Wolfseher
Одна задача (4 варианта чиселок)
AD и BK — медианы ΔABC. Их продолжения пересекают описанную около ΔABC
окружность в точках E и F соответственно; AE:AD=2:1; BK:KF=4 варианта. Найдите углы ΔABC.
Сначала расшифровать прямой угол, потом дважды теорема о хордах.
Помещено здесь как пример изменения условия и картинки при помощи кнопок.
Этот человек — Tim Brzezinski — нарисовал много планиметрических картинок.
Однако мне больше нравятся картинки от Steve Phelps.
На всех картинках можно крутить изображение, удерживая правую кнопку мышки в нажатом состоянии и шевеля мышку.
Именно возможность изображения “круглых тел” привлекла меня в ГеоГебре. Всё остальное можно и мелом на доске.
Цилиндр.
Пифагор. Оч.простая
В цилиндр помещена правильная 3-угольная призма (все её рёбра равны a). Одна её боковая грань вписана в нижнее основание цилиндра,
противолежащее ей ребро лежит на верхнем основании. Найдите объём и площадь боковой поверхности цилиндра.
Теорема о трёх перпендикулярах + Пифагор. Оч.простая
Точка A лежит на окружности верхнего основания прямого кругового цилиндра, B — наиболее удалённая от неё точка на окружности нижнего основания,
C — точка окружности нижнего основания. Найдите AB, если AC=12, BC=5.
Две как одна, или напоминание о коробке для тетраэдра
— Рёбра AB=CD=2 правильного тетраэдра являются диаметрами оснований цилиндра. Найдите объём и площадь полной поверхности этого цилиндра.
— В цилиндр вписан куб (ребро √2). Найдите объём и площадь полной поверхности этого цилиндра.
Интересно: если одну из этих задачек решить в классе, а другую задать на дом, то хоть один школьник заметит совпадение ответов?
Конус.
Томский пробник (вар. 203), апрель 2016
Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120°. Образующая равна 2√3. Через вершину конуса провели сечение
перпендикулярно одной из образующих. а) Докажите, что сечение — тупоугольный треугольник.
б) Найдите расстояние от центра Q основания конуса до плоскости сечения.
В пару томский пробник (вар. 204), апрель 2016
Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120°. Образующая равна 4√3. Через вершину конуса провели сечение
перпендикулярно одной из образующих. а) Докажите, что сечение — тупоугольный треугольник.
б) Найдите угол при основании этого треугольника.
Просто на пространственное воображение
В трёхгранный угол при вершине куба “вписан” конус. Какова наибольшая высота конуса, при которой конус “целиком помещается”
в кубе (“не торчит” из него)?
Шар.
ИПС Гордина (N7518), сложная
На сфере радиуса 2 находятся три попарно касающиеся окружности радиуса 1. Найдите радиус окружности,
которая также расположена на данной сфере и касается каждой из данных окружностей.
Быть может, картинка увеличит количество решивших задачку. Решение можно посмотреть в файле
(для этого нужно при каждом продвижении движка “подсказка” ставить галочку в окошко “слова подсказок”).
Кругосветное путешествие это номер 10.23 из ISBN 978-5-4439-0371-2
На воздушном шаре, летевшем относительно Земли вдоль заданной параллели на постоянной высоте, было совершено кругосветное путешествие.
Разность расстояний, пройденных верхней и нижней точками шара, оказалась равна удвоенному диаметру шара. На какой широте совершалось путешествие?
Шаровой слой по мотивам номера 718 из Атанасяна: для Зои Фёдоровны из Когалыма.
Два параллельных сечения шара разбивают его диаметр на три равные части. Какую долю объёма шара составляет объём заключённого между ними шарового слоя?
Это просто упражнение, ничего интересного, кроме картинки и результата (объём слоя составляет почти половину объёма шара).
Шаровой сегмент, сектор, слой
Просто так, чтоб поглядеть. Я не знаю школьных задач про части шара (что знаю — то не задачи).
Комбинации шара, конуса и цилиндра.
На этой картинке — цилиндр в полусфере .
Такая “минимаксная” задача: надо найти, каков максимально возможный объём цилиндра.
Цилиндр вписан в конус — классический “минимакс”.
Цилиндр и конус соосны. Одно основание цилиндра лежит на основании конуса. Окружность другого основания цилиндра лежит на боковой поверхности конуса.
Какую наибольшую долю объёма конуса может составлять объём цилиндра? При каких отношениях их радиусов и высот это происходит?
Конус описан около шара — тоже “минимакс”.
Вы описали около шара радиуса r конус наименьшего возможного объёма. Каково отношение их объёмов?
Какими при этом будут радиус и угол при основании конуса?
Три шара лежат на плоскости задача 8433 из ИПС Гордина.
Три шара радиуса R лежат на плоскости, касаясь друг друга. Четвёртый шарик лежит на той же плоскости, касаясь трёх шаров.
Найдите радиус четвёртого шарика.
Комбинации шара, конуса и цилиндра с многогранниками.
Ларин, вар.196 (2016/2017).
В основании пирамиды PABC лежит равнобедренный треугольник ABC (AC=BC). Все боковые рёбра пирамиды попарно равны.
Точка K — середина AB.
В эту пирамиду вписана сфера. а) Докажите, что точка касания сферы с гранью APB лежит на прямой PK.
б) AB=6, BC=5, PK=4. Найдите радиус сферы.
Подсчёт объёма двумя способами.
Ларин, вар.100 (2014/2015).
В правильной пирамиде SABCD ребро основания равно 4√6, высота 6√2.
Через точку касания с боковой гранью SAB вписанного в эту пирамиду шара параллельно прямой AB проведена плоскость,
проходящая через ближайшую к вершине S точку шара.
а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.
б) Найдите площадь сечения.
Ларин, вар.109 (2014/2015)
Центры вписанного и описанного шаров правильной 4-угольной пирамиды совпадают. Найдите двугранный угол при ребре основания.
В файле помещено изящное решение Скачкова(?) или Стрелецкого(?) — Саш, уточни меня, пожалуйста.
Ларин, вар.111 (2014/2015) (совместное производство uStas & Т.С.)
Шар касается основания ABC правильной пирамиды SABC в точке B; и её бокового ребра SA этот шар тоже касается.
Найдите радиус шара, если сторона основания пирамиды равна 3, а боковое ребро равно 4.
Возможны очень разные способы решения. В т.ч. очень простое — которое, как водится, не первым приходит в голову.
Ларин, вар.112 (2014/2015): пирамида с равнонаклонными гранями
Правильный ΔABC со стороной 6 — основание пирамиды SABC. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания
угол α=arccos0,6. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.
Два случая — что не так часто встречается.
Ларин, вар.108 (2014/2015): полувписанный шар
В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна √7, а боковое ребро 5. Найдите площадь сферы, касающейся всех рёбер пирамиды.
Полувписанная сфера — что не так часто встречается.
Произвольные тела вращения.
К признаку перпендикулярности прямой и плоскости
В правильной нечётноугольной пирамиде боковое ребро перпендикулярно противоположному ребру основания
Для доказательства теоремы о пирамиде с равнонаклонными рёбрами.
Для доказательства теоремы о пирамиде с равнонаклонными гранями.
Для вывода формулы объёма тетраэдра через радиус вписанного шара Vтетр= 1/3 Sполн r.
Для вывода формулы объёма тетраэдра Vтетр= 1/6 AB·CD·ρ(AB; CD)·sin(AB; CD)
(через пару скрещивающихся рёбер).
Для вывода формулы объёма усечённой пирамиды прекрасная
картинка от Anthony C.M. OR. Здесь она онлайн.
К принципу Кавальери (вывод объёма шара)
Здесь использован принцип Кавальери в каноническом виде: если два тела можно так расположить в пространстве, что любая плоскость,
параллельная заданной плоскости, пересекает их по равновеликим фигурам, то эти тела имеют равные объёмы.
Однако в более общей формулировке этот принцип таков: если два тела можно так расположить в пространстве, что любая плоскость,
параллельная заданной плоскости, пересекает эти тела по фигурам, имеющим постоянное отношение площадей k, то отношение объёмов этих тел равно k.
Применение для вывода объёма шара: “поставим” рядом полусферу радиуса R и куб с ребром R;
из куба “выкинем” 4-угольную пирамиду — останется тело объёма 2/3 R3.
Соответствующие площади сечений полусферы и этого тела относятся как π — ну и вот
Развитие электронной торговли материально-техническими ресурсами в АПК
Представлены результаты исследований по развитию информационных технологий и обоснованию методологических положений оценки эффективности цифровых платформ, определена общая схема работы площадки «Электронная торговля: материально-техническое обеспечение АПК», обозначены ее задачи, цели, функции и механизм функционирования. Оценены преимущества и недостатки данной платформы для разных групп, в том числе и косвенных участников рынка.
Ключевые слова
Института системных исследований в АПК НАН Беларуси
Россия
Николай Артюшевский, заведующий сектороминформационного обеспечения Института системных исследований в АПК НАН Беларуси, кандидат экономических наук, доцент
ветлана Макрак, докторант, заведующий сектором ценообразования Института системных исследований в АПКНАН Беларуси, кандидат экономических наук, доцент
Список литературы
Е.И. Андреева. Альтернативы развития и применения IT-технологий при таможенном контроле товаров// Вестник экономической интеграции. 2013. №12. С.20–27.
Белорусская универсальная торговая биржа: секция «Сельскохозяйственная продукция»// https://www.butb.by/tsifry-i-analitika/birzhevye-kotirovki/.
Государственная информационно-поисковая система поветеринарным препаратам ИПС «Ветснаб»// https://vet.mshp.gov.by/.
В.Г.Гусаков. Благо и опасности мировой информатизации // Наука и инновации. 2021. №9. С.4–9.
Информационно-поисковая система «Техсервис»// https://ips.mshp.gov.by/.
ИС «Тендеры»// https://icetrade.by.
Ковалев М.М. Цифровая экономика–шанс для Беларуси / М.М.Ковалев, Г.Г.Головенчик.–Минск, 2018.
М. Макрак. Методика оценки привлекательности поставщиков агроресурсов вусловиях развития цифровой экономики // Аграрная экономика. 2018. №12. С.18–28.
С. Макрак. Цифровизация экономики как этап внедрения SMART-системы управления материальными ресурсами // Аграрная экономика. 2020. №3. С.41–51.
Месропян В. Цифровые платформы–новая рыночная власть// https://agriecomission.com/base/cifrovye-platformy-novaya-rynochnaya-vlast.
О развитии цифровой экономики. Декрет Президента Республики Беларусь №8 от21.12.2017г. (вред. Декрета Президента Республики Беларусь от18.03.2021 №1) // https://president.gov.by/ru/documents/dekret-8-ot-21-dekabrja-2017-g-17716.
Об Основных направлениях реализации цифровой повестки Евразийского экономического союза до2025г. Решение Высшего Евразийского экономического совета от11октября 2017г. №12// https://www.alta.ru/tamdoc/17vr0012/.
Обутверждении Государственной программы «Цифровое развитие Беларуси» на2021–2025гг. Постановление Совета Министров Республики Беларусь от02.02.2021г. №66 (вред. постановления Совмина от18.03.2022 №143). // https://www.mpt.gov.by/ru/gosudarstvennaya-programma-cifrovoe-razvitie-belarusi-na-2021–2025-gody.
Система таблиц «Затраты-Выпуск» за2020г. // https://www.belstat.gov.by/ofitsialnaya-statistika/publications/izdania/public_bulletin/index_50261/.
Электронная торговая площадка// https://goszakupki.by/tenders/posted.