Между хаосом и порядком

Стационарный процесс Гаусса – Маркова

Стационарный процесс Гаусса – Маркова с дисперсией и постоянной времени обладает следующими свойствами.

Функция спектральной плотности мощности

Функция спектральной плотности мощности имеет ту же форму, что и распределение Коши:

$$ P(\omega) = \frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{\gamma^2 + \omega^2} $$

Обратите внимание, что распределение Коши и этот спектр различаются масштабными коэффициентами.

Спектральная факторизация

Вышеупомянутое даёт следующую спектральную факторизацию:

$$ P(\omega) = K(\omega)K^*(\omega) $$

что важно в винеровском оценивании и других областях.

Ссылки:

1. Rasmussen C. E., Williams C. K. I. // Gaussian Processes for Machine Learning (англ.). — MIT Press, 2006. — ISBN 0-262-18253-X.

2. Lamon P. 3D-Position Tracking and Control for All-Terrain Robots (англ.). — Springer, 2008. — P. 93—95. — ISBN 978-3-540-78286-5.

3. Mehr C. B., McFadden J. A. Certain Properties of Gaussian Processes and Their First-Passage Times (англ.) // Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). — 1965. — .

Дроздовский стрелковый полк

Дроздовский артиллерийский дивизион

После размещения Русской армии в Галлиполийском лагере Дроздовская артиллерийская бригада была сведена в Дроздовский артиллерийский дивизион. После создания РОВС, также, как и Дроздовский стрелковый полк, представлял собой кадрированную воинскую часть без материальной части. Осенью 1925 года насчитывал 391 человека, из них 263 офицера. В Галлиполи дрозды-артиллеристы издавали машинописную газету Весёлые бомбы.

Свойства процесса Гаусса – Маркова

1. Если $ \phi(x, t) $ – ненулевая скалярная функция от $ x $ и $ t $, то $ \phi(x, t) $ также является процессом Гаусса – Маркова.

2. Если $ \phi(x, t) $ – неубывающая скалярная функция от $ x $ и $ t $, то $ \phi(x, t) $ также является процессом Гаусса – Маркова.

3. Если процесс невырожденный и непрерывный в среднеквадратическом, то существуют ненулевая скалярная функция и строго возрастающая скалярная функция такие, что $ \phi(x, t) = \int_{0}^{t} K(t-s) dB_s $, где $ B $ – стандартный винеровский процесс.

Свойство (3) означает, что любой невырожденный непрерывный в среднеквадратическом процесс Гаусса – Маркова может быть синтезирован из стандартного винеровского процесса.

Дроздовцы

Дроздо́вцы, дрозды́ – название воинских частей Добровольческой армии (впоследствии Вооружённых сил Юга России и Русской армии), получивших именное шефство одного из основоположников Белого движения на Юге России — генерал-майора М. Г. Дроздовского. Первоначально дроздовцами называли бойцов Первой Отдельной бригады Русских добровольцев, совершившей 26 февраля (11 марта) 1918 — 24 апреля (7 мая) 1918 года 1200-вёрстный поход под командованием тогда ещё полковника М. Г. Дроздовского.

Командующий Добровольческой армией генерал Май-Маевский (на переднем плане) и капитан Макаров (сзади), оба в форме 2-го Офицерского генерала Дроздовского стрелкового полка

Дроздовцы в харьковском госпитале, 1919 год

Список литературы:

1. Шишов А. В. Генерал Дроздовский. Легендарный поход от Ясс до Кубани и Дона. — М.: ЗАО Издательство Центрполиграф, 2012. — 431 с. — (Россия забытая и неизвестная. Золотая коллекция). — ISBN 978-5-227-03734-3
2. Гагкуев Р. Г. К истории дроздовцев // Дроздовский и дроздовцы. — М.: НП Посев, 2006. — ISBN 5-85824-165-4
3. А. С. Кручинин, Е. А. Комаровский, Ю. А. Трамбицкий, А. В. Марыняк, Р. М. Абинякин, В. Ж. Цветков Белое Движение. Исторические портреты. — М., 2006, Издательство АСТ. — ISBN 5-17-025887-9
4. Антон Туркул. Дроздовцы в огне. — Мюнхен, 1947.
5. Гиацинтов Эраст. Записки белого офицера / Вступит. статья, подготовка текста и коммент. В. Г. Бортневского. — СПб.: Интерполиграфцентр СПбФК, 1992. — 267 с., илл. — ISBN 5-88560-077-5
6. Дроздовский и дроздовцы. — М.: НП Посев, 2006. — ISBN 5-85824-165-4
7. В. Кравченко. Дроздовцы в боях зимой и весной 1919 года // Вооружённые силы на Юге России. Январь-июнь 1919 года.. — М.: Центрполиграф, 2003. — С. 159-189. — 672 с. — (Россия забытая и неизвестная. Белое движение в России, т. 17). — — ISBN 5-95-24-0666-1
8. С. Мамонтов. Походы и кони // Вооружённые силы на Юге России. Январь-июнь 1919 года.. — М.: Центрполиграф, 2003. — С. 258-342. — 672 с. — (Россия забытая и неизвестная. Белое движение в России, т. 17). — — ISBN 5-95-24-0666-1
9. Д. Пронин. Записки дроздовца-артиллериста // Вооружённые силы на Юге России. Январь-июнь 1919 года.. — М.: Центрполиграф, 2003. — С. 226-240. — 672 с. — (Россия забытая и неизвестная. Белое движение в России, т. 17). — — ISBN 5-95-24-0666-1
10. Н. Ребриков. Дневник дроздовца-артиллериста // Вооружённые силы на Юге России. Январь-июнь 1919 года.. — М.: Центрполиграф, 2003. — С. 241-255. — 672 с. — (Россия забытая и неизвестная. Белое движение в России, т. 17). — — ISBN 5-95-24-0666-1
11. Деникин А. И. Очерки русской смуты. — М.: Айрис-пресс, 2006. — ISBN 5-8112-1890-7

Профессор Марков и его открытия

Русский математик Андрей Андреевич Марков безусловно известен всем любителям математики как создатель т. н. цепей Маркова – последовательности случайных событий, где вероятность наступления каждого события зависит только от состояния, достигнутого в предыдущем событии.

Однако сегодня мы рассмотрим его менее известное открытие, связанное с решением диофантова уравнения:

Уравнение Маркова:

[x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz]

Решений уравнения Маркова – бесконечное количество, и все они получаются по очень простой формуле. В ее основе лежит первое приходящее на ум тривиальное решение:

Вычисление марковских чисел

Тогда остальные решения выводятся по формуле:

p = q
q = p + q
r = p + 2q

В результате чего перестановкой получаются следующие тройки чисел:

(2,1,3),(1,2,3),(1,3,4),(7,1,4),(2,3,5),(1,4,5),(4,3,7),(4,1,5),(5,2,7)

Каноничной из них считается та, в которой числа упорядочены по возрастанию, т.е. последняя, которая и называется марковской тройкой. Теперь фиксируем первое значение и вычисляем следующую тройку:

(1,3,4),(3,1,4),(4,3,7),(4,1,5),(5,4,9),(3,4,7),(7,4,11),(7,3,10),(10,7,17)

Дальше есть два пути (забегая вперед, в остальных марковских тройках нет повторяющихся значений). В первом случае мы меняем местами q и r, во втором – p и r.

Примеры марковских троек

Все возможные марковские тройки, как Вы могли догадаться, целиком и полностью состоят из марковских чисел. Первые из них (всего их бесконечное количество):

(1,2,3)
(1,1,2)
(2,2,5)
(1,5,6)
(5,5,11)
(34,55,89)

Если продолжать процесс ветвления для каждой марковской тройки, получим дерево:

1. 1
   • 1-1
     • 1-1-2
     • 1-2-3
     • 1-1-2-3
     • 1-1-2
   • 1-2
     • 1-2-3
     • 1-2-3

Обратите внимание на выделенные красным цветом числа – это нечетные члены последовательности Фибоначчи! Выделенные зеленым цветом – т.н. числа Пелля, получаемые при решении одноименного уравнения.

Формулы для чисел Пелля и Фибоначчи

Формула для вычисления чисел Пелля. Аналогичная существует и для чисел Фибоначчи

x^2 - ny^2 = 1

Наивно думать, что Марков в теории чисел изучал всего лишь одно конкретное уравнение. Наоборот, его числа родились во время исследования целой математической области – т.н. квадратичных форм, где Марков выделил специальные формы (второй столбец):

Q	Квадратичная форма
20	14x^2 + 10xy + 6y^2
21	3x^2 + 8xy + 5y^2, где x = 2, y = 1
22	11x^2 + 12xy + 4y^2

Если попытаться вычислить значение последней дроби, оно будет равным примерно 2.9999. Марков показал, что эта величина стремится к 3. Прелюдия закончена. Начинается математическая магия.

Четки марковцев

В статье марковца Льва Большакова, столь поэтическими красками изобразившего своих боевых соратников, упоминается одна странная, на первый взгляд, черта: монашеские чётки, постоянно носимые многими офицерами-марковцами. Историю происхождения этих чёток рассказал в своих воспоминаниях другой марковец – Василий Павлов. Оригинал здесь.

Хорошо заметны монашеские чётки у него на руке.

1-й батальон взял огромную слободу Борисовку, имеющую до 40 000 жителей. Однако доминирующие над ней высоты за речкой, с древним женским монастырем, взять не удалось. 3-я рота готовилась атаковать ее ночью; 1-я батарея вела пристрелку. Батарея красных мешала ей, ее стрельбу корректировал наблюдатель с колокольни монастыря. Обстрелять колокольню? Несколько шрапнелей, и, как стон раненого, отозвался один из колоколов, в который попал осколок. Стон, болезненно отозвавшийся в сердцах марковцев. Ночью высоты с монастырем были взяты. На много верст вокруг открывался с них вид. Видна и железная дорога Харьков — Готня с курсировавшим по ней бронепоездом красных.

Офицеры батальона и благословление

Группа офицеров батальона с капитаном Слоновским пришла в монастырь поклониться его святыням. Их встретили настоятель монастыря и игуменья. Настоятель благословил защитников Веры Православной и роздал всем черные монашеские четки — символ служения Церкви и людям. Офицеры были тронуты глубоко этим благословением. Надев четки на руки, они сочли этот дар относящимся не только к ним лично, но и ко всему полку; сочли, что все марковцы с этого дня могут носить монашеские четки.

Марковец Дмитрий Анатольевич Слоновский

Марковец Дмитрий Анатольевич Слоновский, сын священника, служил в рядах Белой Армии и дослужился до полковника.

Марковцы с монашескими четками

Необычайно было видеть марковцев с монашескими четками на руке. Те, кто их носил, носил с достоинством. Говорила принадлежность формы марковцев. Однако начальство полка не восприняло серьезно этот факт и предало его забвению. Возможно, потому, что в разгар жестокой борьбы голос христианской совести становился слабее, сердце ожесточалось и могли возникать нарушения связанные с ношением четок. О благословении и полковой священник молчал. Но не все забыли: были те, кто в своей жизни и поступках почитал четки.

Чины Дроздовского полка

На фотографии изображены чины Дроздовского полка в Крыму в октябре 1920 года. Сидят: штабс-капитан А. М. Бородаевский, подпоручик Н. Заборская. Стоят: подпоручик З. Готгарт, М. Бородаевский. Лежит: вольноопределяющаяся В. Лозовская.

История дроздовских частей

После прибытия на Дон генерала М. В. Алексеева и создания там Алексеевской организации (позднее переименованной в Добровольческую армию), между ним и штабом Румынского фронта была установлена связь. В результате на Румынском фронте возникла идея о создании Корпуса русских добровольцев для последующей отправки на Дон. Первыми дроздовцами стали 9 офицеров 61-й артиллерийской бригады, которые ранее планировали отправиться на Дон самостоятельно.

Дроздовцы

Фуражка добровольца дроздовских частей. Реконструкция 2010 года.

В ходе разраставшегося конфликта между решительным и амбициозным Дроздовским и не менее амбициозным начальником штаба Добровольческой армии генералом Романовским, опасавшимся к тому же растущего влияния Дроздовского внутри Добровольческой армии, 3-я дивизия Дроздовского в штабе армии стала «пасынком как в смысле пополнения людьми, так и в смысле пополнения материальной частью». Причины происходившего с 3-й дивизией в 1918 году кроются также в отношении штаба армии, состоявшего сплошь из первопоходников, ко всем присоединившимся к армии после завершения ею Ледяного похода, считавшимися своего рода париями. Несмотря на тот факт, что дроздовцы также совершили тяжелейший поход для соединения с Добровольческой армией, здесь они не были исключением. Противостояние между штабом армии и 3-й дивизией вылилось 17 (30) сентября 1918 года в серьёзный конфликт во время Армавирской операции и завершилось только с ранением и отбытием Дроздовского в госпиталь, закончившимся в итоге трагически.

Нагрудный знак дроздовцев, установленный в белой эмиграции

• 2-й Офицерский стрелковый полк,

• 2-й Офицерский конный полк,

• 3-я инженерная рота,

• Лёгкая артиллерийская батарея,

• Развёрнутый из взвода дивизион гаубиц в составе 10 лёгких и 2 тяжёлых орудий.

Во время Второго Кубанского похода только в июне 1918 года 3-й пехотной дивизией было захвачено в плен более 3000 красноармейцев, из которых 21 июня 1918 года по приказу Дроздовского был сформирован Солдатский батальон трёхротного состава, на командные должности которого были назначены офицеры из 2-го Офицерского стрелкового полка. После сформирования в июле 1918 года четвёртой роты, батальон переформировали в полк, который — после объединения 14 (27) августа 1918 года в станице Усть-Лабинской с прибывшим из Ставрополя батальоном из офицеров и солдат 83-го Самурского полка (со знаменем)— был переименован в Самурский пехотный полк.

После смерти генерала Дроздовского 1 (14) января 1919 года его именем 4 (17) января были названы:

• Созданный им 2-й Офицерский стрелковый полк, переименованный во 2-й Офицерский генерала Дроздовского стрелковый полк (в дальнейшем 1-й Дроздовский полк, развёрнутый в дивизию),

• 2-й Офицерский конный полк, 10 (23) октября переименованный во 2-й Офицерский генерала Дроздовского конный полк,

• Дроздовская артиллерийская бригада,

• Бронепоезд «Генералъ Дроздовскій».

Команда танка «Генералъ Дроздовскій», сентябрь 1919 года (на правом рукаве одного из офицеров экипажа видна нарукавная эмблема в виде английского танка Mk V)

В июне-июле 1919 года именные полки ВСЮР начали создавать вторые и третьи полки на основе добровольцев и пленных красноармейцев.

29 июля (11 августа) 1919 года приказом по 1-му армейскому корпусу Добровольческой армии № 215 на базе 3-го батальона 1-го полка, мобилизованных и пленных сформировали 4-й Офицерский генерала Дроздовского стрелковый полк. Оба полка были объединены в Офицерской генерала Дроздовского стрелковой бригаде в составе 3-й пехотной дивизии.

25 августа (7 сентября) 1919 года 2-й и 4-й Офицерские генерала Дроздовского стрелковые полки переименованы в 1-й и 2-й Дроздовские полки, соответственно.

21 сентября (4 октября) 1919 года из бойцов 3-го батальона 1-го полка сформирован 3-й Офицерский генерала Дроздовского стрелковый полк. Командир — полковник Манштейн. 14 (27) октября 1919 года приказом Главнокомандующего ВСЮР на базе 3-й пехотной дивизии создана Офицерская генерала Дроздовского стрелковая дивизия в составе 1-го, 2-го и 3-го полков, запасного батальона, Дроздовской инженерной роты и Дроздовской артиллерийской бригады (бывшая 3-я артиллерийская бригада). Позже были организованы и запасные батальоны дроздовских полков.

Генерал А. П. Кутепов в форме дроздовцев и капитан Марковского пехотного полка, 1919 год

(акварель П. В. Робике)

28 апреля (11 мая) 1920 года, уже в составе Русской армии Врангеля, из-за больших потерь офицеров дивизию переименовали в Стрелковую генерала Дроздовского (Дроздовскую) в составе 1-го армейского корпуса; а её полки — в 1-й, 2-й и 3-й стрелковые генерала Дроздовского (Дроздовские) полки.

Запасной батальон дивизии, принимавший участие в Заднепровской операции и полностью состоявший из пленных красноармейцев, за отличие в боях приказом Главнокомандующего переименован в 4-й стрелковый генерала Дроздовского (Дроздовский) полк.

Известно, что все именные соединения Добровольческой армии (корниловцы, марковцы, алексеевцы) помнили своих командиров и чтили их память, однако дроздовцы всё же выделялись особо в этом отношении — они идеализировали своего шефа, однако, возвышая его образ, соратники и сами стремились ему соответствовать:

Об отношении дроздовцев к своему шефу красноречиво говорит и факт вывоза его праха из Екатеринодара, уже оставленного к тому времени войсками ВСЮР, — путём смелого рейда в город, в который уже вступали наступавшие большевики.

Дроздовцы-пехотинцы и дроздовцы-кавалеристы носили малиновые погоны (подобно стрелковым частям императорской армии) с чёрно-белым кантом, а дроздовцы-артиллеристы — с чёрным кантом.

Как и во многих других «цветных» частях Добровольческой армии, в Дроздовской дивизии на командные должности выдвигались почти исключительно собственные офицеры. Так, назначенный вскоре после смерти Дроздовского на его место генерал Ю. Ю. Белозор (отказавшийся весной 1918 года идти походом из Румынии с дроздовцами и распустивший своих подчинённых), игнорировался дроздовцами и был сменен уже через три дня. Поэтому начальником дивизии был назначен дроздовец — генерал В. К. Витковский.

Песни дроздовских частей

• «Марш дроздовского полка» («Шёл дроздовский славный полк») (1918 или 1919): «Из Румынии походом Шёл дроздовский славный полк, Во спасение народа Исполняя тяжкий долг…» — на мелодию «Марша сибирских стрелков».

• «Смелей, дроздовцы удалые» (1918): «О Боже правый, изнывает Под гнётом Русь — спаси её! Тебя народ Твой призывает — Яви Ты чудо нам своё…»

Приближения иррациональных чисел

Удивительно, но числа Маркова проявляются в теории приближения иррациональных чисел рациональными дробями:

Это утверждение означает, что всякое иррациональное число α можно приблизить рациональной дробью p/q с требуемой точностью, которая зависит только от знаменателя q. Например:

Т.е., выбирая q=10 мы получили приближение с погрешностью меньше 5 %, а наилучшее приближение числа π в данном случае – это дробь 31/10. А что будет если взять другие значения q? Оказывается, прямой зависимости в уменьшении погрешности нет:

Т.е. наметившееся уменьшение погрешности в дребезги разбивается, например, при q=125, где наилучшее приближение хуже, чем при меньших значениях знаменателя. Напрашивается вывод, что не все q подходят для того, что наилучшим образом приближать иррациональные числа, да и вообще в правой части может быть не такое простое выражение.

Немецкий математик Адольф Гурвиц показал, что некоторые иррациональные числа можно приближать точнее и точнее, если использовать в качестве дроби справа следующие выражения:

В 1921 году математик Оскар Перрон нашел ключ, который наконец связал числа Маркова с коэффициентами наилучшего приближения иррациональных чисел:

Как видите, числа Маркова являются собой замечательную, скрытую от невооруженного глаза, связь непрерывного (квадратичных форм) и дискретного (рациональных приближений). Этим и прекрасна математика!

Подборка материалов по числам Маркова:

• Теорема Маркова и гипотеза единственности (объемная книга, целиком посвященная проблематике) / англ.

• Оригинал работы Маркова по теории квадратичных форм / англ.

• Отдельная статья про гипотезу единственности (утверждает, что каждое число Маркова является наибольшим в тройке только один раз) / англ.

• О геодезических (кратчайших) линиях и их связи с числами Маркова / англ.

• Связь целочисленной геометрии и чисел Маркова / англ.

• Спектры Маркова и Лагранжа (по сути некоторые наборы для квадратичных форм с определенным дискриминантом) / англ.

• О распределении чисел Маркова / англ.

• О сопоставлении дерева Маркова с двоичными словами специального вида / англ.

• Объяснение, почему уравнение Маркова с правой частью вида n*pqr при n>3 не имеет решения / англ.

• Введение в теорию диофантовых приближений / рус.

• Комбинаторика марковских чисел / англ.

Всё это и много другое, заботливо упакованное в один архив, – " Математика не для всех "

Эта статья поддерживается командой ITGLOBAL.COM

Мы — первый облачный провайдер в России, а также интегратор, поставщик ИТ-услуг, продуктов, сервисов и разработчик собственного ПО.

• Наш сайт

• Наш блог про виртуализацию и Enterprise IT

• Наш YouTube канал

• Истории успеха наших клиентов

Форма корниловцев

Юнкера МХПИ девушки

Белая гвардия корниловцы

Белая гвардия корниловцы

Юнкера МХПИ девушки

Юнкера МХПИ позорище

МХПИ Московский художественно-промышленный институт

Митрофан Осипович Неженцев

Корниловский ударный полк аниме арты

Ударный отряд корниловцы

Белая гвардия аниме корниловцы

Униформа белогвардейцев корниловцы

Дроздовцы Марковцы корниловцы

Корниловцы на юге России

Белая гвардия корниловцы

Марковцы и корниловцы

Корниловец Михаил Николаевич Левитов

Белая гвардия аниме корниловцы

Сергей белогвардеец казак

Марковцы и корниловцы

Корниловцы в Галлиполи

Белая гвардия корниловцы

Общегенеральский мундир Николая II

Шеврон Корниловского ударного полка

Кутепов генерал белой армии

Белая гвардия корниловцы

Марковец белая гвардия

Белая гвардия корниловцы и Дроздовцы

Белогвардейцы рисунки Альшаева

Белая армия Марковцы

Корниловского ударного полка Российской императорской армии.

Wojak белая гвардия

Корниловский ударный полк 1917

Белая гвардия аниме корниловцы

Белая гвардия Дроздовцы

Белая гвардия корниловцы

Дроздовцы Марковцы корниловцы

Генерал Дроздовский Михаил Гордеевич

Белая армия Дроздовцы

РОА корниловцы аниме

Белая гвардия аниме корниловцы

Дмитрий Альшаев корниловцы

Белая гвардия корниловцы арт

Дроздовцы Марковцы корниловцы

Белая гвардия корниловцы

Китель Корниловского полка

Белая гвардия корниловцы

1-Й Корниловский ударный полк

Полк белого художника

Андрей Каращук иллюстрации Гражданская война в России

Михаил Левитов корниловцы

Корниловского ударного полка Российской императорской армии.

Туркул Антон Васильевич СС

Текинский полк Корнилова

Мундир штабс капитана Корниловского полка

1 Корниловский ударный полк

Лего Белогвардейская армия

Боевые потери дроздовцев

Дроздовцы в Болгарии. 1920-е гг. Стоят: генерал-майоры А. В. Туркул (пятый слева) и В. Г. Харжевский (третий справа). В центре группы в дроздовской фуражке сидит генерал-майор В. К. фон Манштейн («дедушка»), отец В. В. фон Манштейна

Парад Дроздовского стрелкового полка в Галлиполийском лагере